“形”之有效
添加时间: 2006-5-21 8:27:04 作者: 教育参考 阅读次数:632 来源: http://www.d9soft.com
本文分三大部分：
一、引言
二、解法比较举例
三、注意的问题
关键词：数形结合 模型 临界位置
“形”之有效
——谈求函数值域中数形结合解法及其它解法的比较
一、引言
所谓数形结合，就是根据数学问题和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题思路，使问题得到解决。
“数”与“形”是一对矛盾，它包含“以形助数”和“以数辅形”两个侧面，会不会进行数式信息与形象信息的等价转换，反映了数学素养。数形结合是一个重要的数学方法，是人们存在大脑中的两种基本思维形式。
二、解法比较举例
例1：求函数 的值域。
解法一：由 变形得到：
∴
解法二：
可看作点A（2，0）与圆 上
的点的连线斜率的相反数
由图形可知 与 位置就是边界位置。
显然
解法一：是利用转化成一个有界函数来求解；
解法二：是利用数式的几何意义，即用“形”的思想解决问题，其“形”的模型是 即两点 及 连线斜率。涉及图有圆、点。
例2、用 的值域。
法一：用 有界即：
解：
解得：
法二：用“形”的思想解题，赋式子 于新意。
解：由 可以看成是M（2，2）与动点P（ ， ）连线的斜率。又点P是在 ∴P（ ， ）的轨迹是如图所示的AB线段，其中A（-1，1）、B（1，-1）
即：
注：涉及的图形有：线段、点 ，模型依据
例3：求 的值域：
法一：原函数可化为：
法二： ，
法三：
记
，则方程 在（0，+∞）上有解的充要条件为：
即
法四： 可以看作是P（ ，1）到动点M（ ， ）连线的斜率，M点在y=x（x＞0）上，所以如图所示：
过P作两条直线
：即PO直线
：即与y=x平行的直线
要使所作连线与y=x（x＞0）有交点，
则须： ＜y＜ 即： ＜y＜1
注：涉及图形：点、射线 模型依据： 及极限位置。
又如例4：求 的值域：
法一：“△”法。
＞0
的定义域
关于 的方程有实数解 ，
时， =0成立
当 △=
即 即
法二：
①当 时，
②当 时，
此时， 可以看成是动点M（ ， ）与定点N（－1， 1）连线的斜率。 又M横纵坐标相等
∴M在 上，又 ＞0时， ； ＜0时，
∴M是在 上的两条射线上运动。（图形如下 ）
当M在M1A射线运动时，斜率逐步递增
当M在M2B射线运动时，斜率逐步递减
注：涉及两条射线及点 模型依据： 及极限位置。
例5：求 值域
法一：解： 在定义域 上单调递减，
故
法二：设 则
（ ）
图象如左：
注：涉及二次函数图形中的单调性研究
例6：求 的值域
法一：设
则
知
时，
时，
法二：设 ， ，则 （ ， ）
这表示一个圆的上半部分
又 则看成 、 为变量
当 为常数是一组直线，且斜率为 ， 为
两轴上的截距，如左图
仅当 位置时，
仅当 位置时，
例7：求 的值域。
解法一：令 ， 则 （ ， ）
可设： （ ）
则
由 得
知 故
法二：令 ，
则 （ ， ）…………①
…………②
如图所示：①式表示的图为一以原点为圆心的圆的第一象限（包端点）部分②式表示斜率为 的直线系，其对应的倾斜角为：
∴ 与 为所有 中与 有公共点的临界位置直线可算得直线在 上的截距 ，
， ∴
注：涉及图有圆、直线及直线与圆的位置关系，倾斜角及直线在纵轴上的
截距。
例8：求函数 的值域。
解法一：
设 ，则 ，
则
[ ，+ ]
注：模型依据：复数中的模的几何意义及 。
解法二：
=
表示：平面直角坐标系中X轴上的点P（X，0）到两定点A（0，2）、B
（-1，3）的距离之和。
如图，有
[ ，+ ]
注：模型依据：平面解析几何中的点点距离；
平面几何中的对称。
三、注意的问题：
进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：一是通过坐标系统的建立，引入参变量，化静为动，以动求解；二是转化；三是构造，即构造几何模型，构造函数或构造一个图形。
运用数形结合思想方法分析解决问题时，要把握三个原则：一是等价原则，要注意图形不能精确刻画数量关系所带来的多面效应；二是双向性原则，即既要进行几何直观分析，又要进行相应代数抽象探索，仅对代数问题进行几何分析容易失真；三是简单性原则，不要为了“数形结合”而数形结合，而取决于有效、简便和更宜达到教学。
具体操作上，一要考查可行性和是否有利；二要选准突破口，恰当设参、用参，建立关系，做好转化；三是挖掘隐含条件，正确界定参数范围。
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